GRSS relativity 012
前節提到，協變因子轉換時、需乘以J。該敘述、和gᵢ = ḡ₁ ∂x̄¹/∂xⁱ + ḡ₂ ∂x̄²/∂xⁱ = ∑ⱼ ḡⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ 完全等價；其中，i 是新座標指標，j 是舊座標指標。
此處定義：
Jʲ₁ = ∂x̄ʲ/∂x¹ = [∂x̄¹/∂x¹, ∂x̄²/∂x¹]
Jʲ₂ = ∂x̄ʲ/∂x² = [∂x̄¹/∂x², ∂x̄²/∂x²]
其中，[ , ] 代表「樁」(直行，column)。
將兩「樁」左右排列，得到：
Jʲᵢ = ([∂x̄¹/∂x¹, ∂x̄²/∂x¹], [∂x̄¹/∂x², ∂x̄²/∂x²])
其中，( , ) 代表「槓」(橫列，row)。
如此，新的梯度向量就成為：
(g₁, g₂)
= (ḡ₁, ḡ₂) · Jʲᵢ
= ((ḡ₁, ḡ₂)·[∂x̄¹/∂x¹, ∂x̄²/∂x¹], (ḡ₁, ḡ₂)·[∂x̄¹/∂x², ∂x̄²/∂x²])
令x̄¹ = x、x̄² = y，x¹ = r、x² = θ，
依上述、即有：
(gᵣ, gₒ̃) = (gₓ, gᵧ) · Jʲᵢ
而，梯度向量用以展開之餘切基底 (cotangent basis)、因是「樁」向量故，其轉換、應以J 的「逆」乘之，此即：
[dr, dθ] = (Jʲᵢ)⁻¹ · [dx, dy]
上式、即相當於：
(dr, dθ) · (Jʲᵢ)ᵀ = (dx, dy)
此外，又因：
∂x̄¹/∂x¹ = ∂x/∂r = cosθ
∂x̄²/∂x¹ = ∂y/∂r = sinθ
∂x̄¹/∂x² = ∂x/∂θ = -r sinθ
∂x̄²/∂x² = ∂y/∂θ = r cosθ
和
∂x¹/∂x̄¹ = ∂r/∂x = cosθ
∂x²/∂x̄¹ = ∂θ/∂x = -sinθ / r
∂x¹/∂x̄² = ∂r/∂y = sinθ
∂x²/∂x̄² = ∂θ/∂y = cosθ / r
即有：
[∂x̄¹/∂x¹, ∂x̄²/∂x¹] = [cosθ, sinθ]
[∂x̄¹/∂x², ∂x̄²/∂x²] = [-r sinθ, r cosθ]
將兩「樁」左右排列，得到：
Jʲᵢ = ([cosθ, sinθ], [-r sinθ, r cosθ])
而該矩陣的「逆」、即為：
(Jʲᵢ)⁻¹
= Jⁱⱼ
= ([∂x¹/∂x̄¹, ∂x²/∂x̄¹], [∂x¹/∂x̄², ∂x²/∂x̄²])
= ([cosθ, −sinθ / r], [sinθ, cosθ / r])
其中，i 是新座標指標，j 是舊座標指標。
可驗算：J 的「正」、「逆」相乘等於單位矩陣。
在三維空間中，任意曲面得以(x, y, z) 座標表為：P = (x, y, f(x, y))
亦得以(r, θ, z) 座標、表為：P = (r, 0, f(r, θ))
第一分量r 沿eᵣ 方向 (徑向) 行進，第二分量0 沿eₒ̃ 方向 (角向) 行進，第三分量f(r, θ) 沿e₃ 方向 (高度) 行進。
其線性展開、為：P = r eᵣ + 0 eₒ̃ + f(r, θ) e₃
其中，eᵣ、eₒ̃、e₃ 皆為座標基底向量 (coordinate base vectors)、而非單位基向量 (unit basis vectors)。
而：
eᵣ= r̂
eₒ̃ = r θ̂
e₃ = ẑ
P 對r 和θ 偏微分、分別是：
∂P/∂r
= (∂r/∂r eᵣ + r ∂eᵣ/∂r) + (0 + 0 ∂eₒ̃/∂r) + (∂f/∂r e₃ + f(r, θ) ∂e₃/∂r)
= (eᵣ + 0) + (0 + 0) + (∂f/∂r e₃ + 0)
= eᵣ + ∂f/∂r e₃
和
∂P/∂θ
= (∂r/∂θ eᵣ + r ∂eᵣ/∂θ) + (0 + 0 ∂eₒ̃/∂θ) + (∂f/∂θ e₃ + f(r, θ) ∂e₃/∂θ)
= (0 + r eₒ̃/r) + (0 + 0) + (∂f/∂θ e₃ + 0)
= eₒ̃ + ∂f/∂θ e₃
已知，在三維空間的(r, θ, z) 座標中，任意一點P 之微小移動、可分解為：沿eᵣ 方向、與沿eₒ̃ 方向的微小移動之組合，而，二方向的微小移動，又可各以座標基底向量乘以一數值、表為：
dP
= ∂P/∂r dr + ∂P/∂θ dθ
= [1, 0, ∂f/∂r] dr + [0, 1, ∂f/∂θ] dθ
= [dr, 0, ∂f/∂r dr] + [0, dθ, ∂f/∂θ dθ]
= [dr, dθ, ∂f/∂r dr + ∂f/∂θ dθ]
此處、梯度的餘切基底(dr, dθ) 是在極座標(r, θ) 中、分別以eᵣ 和eₒ̃ 等座標基底向量表現之移動程度，若欲將其表為直角座標(x, y) 中的移動，則須乘以(Jʲᵢ)ᵀ，此即：
(dr, dθ) · (Jʲᵢ)ᵀ
= ((dr, dθ)·[∂x̄¹/∂x¹, ∂x̄¹/∂x²], (dr, dθ)·[∂x̄²/∂x¹, ∂x̄²/∂x²])
= ((dr, dθ)·[cosθ, -r sinθ], (dr, dθ)·[sinθ, r cosθ])
= (cosθ dr - r sinθ dθ, sinθ dr + r cosθ dθ)
= (dx, dy)
而高度的變化∂f/∂r dr + ∂f/∂θ dθ、則是前述餘切基底(dr, dθ) 展開的線性組合，若欲將其表為單位基向量之分量，則實際移動的數值、應為(dr, r dθ)，高度變化的數值、則為：
dz
= ∇f(r, θ) · dP
= (∇ᵣ, ∇ₒ̃) · (dr, r dθ)
= ∇ᵣ dr + ∇ₒ̃ r dθ
前述、以座標基底基向量 (coordinate base vectors) 來表示餘切基底向量之分量、極具啓發意義，相對地，若改為以單位基向量 (unit basis vectors) 表示，則無法顯示Jacobian 於座標轉換時之關鍵作用，原因在於：單位基向量失去尺度因子r，而餘切基底之轉換、亦唯憑藉座標基底向量與座標微分之共同作用、方能完整呈現其幾何意涵。
