九、協變導數
在平坦的歐式平面 (flat Euclidean plane) 上，方向導數 (directional derivative) 被定義為、兩個鄰近的點的方向向量之差，這也就是，把一個向量、平行輸運 (parallel transport) 到另一個向量的原點之上，然後求它們的差。
此時，我們無須掛心、基底向量由於座標改變所導致的變異為何；這是因為，在平坦的平面上，向量平行移動、不會有基底向量隨著改變之效應產生，換句話說，「向量從某個點、平行移動到另一個點、而仍然能夠保持恆定」，在平坦平面的範圍內、是有意義的。平坦平面、和彎曲平面的關鍵差異在於：當我們把向量、從彎曲平面上的某個點、平行輸運 (parallel transport) 到另一個點時，其結果、將取決於我們所選擇的路徑。
換言之，若使一個向量在任意曲面的不同條測地線上平行移動，而分別從不同的路徑、到達相同的終點時，在最終處，兩個來自不同路徑的、被平行輸運 (parallel transported) 而來的「兩個」向量、並不會重疊在一起；曲面的彎曲程度愈大，兩個向量的偏移、也就愈大。
在平坦的歐式平面 (flat Euclidean plane) 上，協變導數 (covariant derivative) 只不過是單純的向量場的微分，但在非歐平面 (non-Euclidean plane) 上，則要進一步考慮由於座標之改變所導致的、微小變異之程度。
曲線的切向量可以描述為一組基底向量之組成：
V⃗ = V¹ g⃗₁ + V² g⃗₂
這可以簡寫為：
V⃗ = Vᵐ g⃗ₘ
如前所述，協變導數 (covariant derivative) 乃是以與基底向量協變之方式、來衡量自身、及其因座標改變所導致的、微小變異之程度。
此即：
∂/∂Xᵏ V⃗
= ∂/∂Xᵏ (Vᵐ g⃗ₘ)
= (∂/∂Xᵏ Vᵐ) g⃗ₘ + Vᵐ (∂/∂Xᵏ g⃗ₘ)
= (∂/∂Xᵏ Vᵐ) g⃗ₘ + Vᵐ (Γˡₘₖ g⃗ₗ)
= (∂/∂Xᵏ Vᵐ) g⃗ₘ + Vⁿ (Γᵐₙₖ g⃗ₘ)
= (∂/∂Xᵏ Vᵐ) g⃗ₘ + (Vⁿ Γᵐₙₖ) g⃗ₘ
= (∂/∂Xᵏ Vᵐ + Vⁿ Γᵐₙₖ) g⃗ₘ
這可以表示為：
∇ₖ Vᵐ = ∂/∂Xᵏ Vᵐ + Vⁿ Γᵐₙₖ
= ∂ₖ Vᵐ + Γᵐₙₖ Vⁿ
在直覺上，直線就是「直直」延伸的一條線。在幾何上，直線則被定義為：兩點間、距離最短的路徑；但此時，還有一個同樣好的定義：直線乃是能夠平行輸運一個向量、從某個點至另一個點的路徑。
依此，測地線 (geodesic) 乃是歐氏平面的「直線」概念、在彎曲平面之推廣。
