一階微分方程_Linear Equations

基本概念

一個一階線性方程有以下形式:

解題步驟

解這類方程的標準方法是 乘以一個積分因子(Integrating factor) g(x):

將方程式兩邊都乘上 g(x):

等式左邊會變成一個乘積的導數:

積分兩邊:

最後可以解出 y:

範例: 解一階線性微分方程

解:

分析形式

這是一個一階線性微分方程:

積分因子 (Integrating Factor)

化為積分形式

將方程式兩邊乘上積分因子:

等號左邊為積分因子與y相乘的導數，整體等式變為:

積分求解

因此:

最終解答

範例2: 解一階線性微分方程

解:

積分因子

乘上積分因子

左邊可寫成積的導數:

積分求解

解出通解

注意上式，因為:

無法表現成任何基本形式，因此，這裡的解答只能以「含積分的形式」表示。不過呢，這樣就算是正確的答案。