GRSS relativity 013
前節提到，逆變因子轉換時、需乘以J 的「逆」。該敘述、和Vⁱ = ∑ⱼ V̄ʲ ∂xⁱ⁄∂x̄ʲ = V̄¹ ∂xⁱ⁄∂x̄¹ + V̄² ∂xⁱ⁄∂x̄² 完全等價；其中，i 是新座標指標，j 是舊座標指標。
此處定義：
Jʲ₁ = ∂x̄ʲ/∂x¹ = [∂x̄¹/∂x¹, ∂x̄²/∂x¹]
Jʲ₂ = ∂x̄ʲ/∂x² = [∂x̄¹/∂x², ∂x̄²/∂x²]
其中，[ , ] 代表「樁」(直行，column)。
將兩「樁」左右排列，得到：
Jʲᵢ = ([∂x̄¹/∂x¹, ∂x̄²/∂x¹], [∂x̄¹/∂x², ∂x̄²/∂x²])
其中，( , ) 代表「槓」(橫列，row)。
該矩陣之「逆」、為：
(Jʲᵢ)⁻¹
= Jⁱⱼ
= ([∂x¹/∂x̄¹, ∂x²/∂x̄¹], [∂x¹/∂x̄², ∂x²/∂x̄²])
謂：當矩陣由舊座標對新座標偏微分時，稱Jʲᵢ 為「正」，而當矩陣由新座標對舊座標偏微分時，則稱(Jʲᵢ)⁻¹ = Jⁱⱼ 為「逆」。
上述定義雖與常規相反，但只要能滿足一致性、非需定要依循常規之習慣不可；其便利厥在：欲轉換協變因子時、即乘以J 的「正」，欲轉換逆變因子時、即乘以J 的「逆」，用語一致。
上節亦言及：
在三維空間中，任意曲面得以(r, θ, z) 座標、表為：P = (r, 0, f(r, θ))
其線性展開、為：P = r eᵣ + 0 eₒ̃ + f(r, θ) e₃
其中，eᵣ、eₒ̃、e₃ 皆為座標基底向量 (coordinate base vectors)、而非單位基向量 (unit basis vectors)。
曲面沿eᵣ 方向、與沿eₒ̃ 方向的微小移動之切線、可表為：
dP
= ∂P/∂r dr + ∂P/∂θ dθ
= [1, 0, ∂f/∂r] dr + [0, 1, ∂f/∂θ] dθ
= [dr, dθ, ∂f/∂r dr + ∂f/∂θ dθ]
此乃以eᵣ、eₒ̃、e₃ 等座標基底向量 (coordinate base vectors) 顯示之移動程度。
因而，在三維空間中，垂直於曲面切平面的法向量、即為：
n = eᵣ × eₒ̃ = [1, 0, ∂f/∂r] × [0, 1, ∂f/∂θ] = [-∂f/∂r, -∂f/∂θ, 1]
該法向量n、乃以eᵣ、eₒ̃、e₃ 等座標基底向量顯示者。
但因eᵣ = r̂、eₒ̃ = r θ̂，e₃ = ẑ，故，曲面在r̂、θ̂、ẑ 座標系之線性展開、為：
P = r r̂ + 0 (r θ̂) + f(r, θ) ẑ
曲面沿r̂ 方向、與沿θ̂ 方向的微小移動之切線、可表為：
dP
= ∂P/∂r dr + ∂P/∂θ dθ
= [1, 0, ∂f/∂r] dr + [0, r, ∂f/∂θ] dθ
= [dr, r dθ, ∂f/∂r dr + ∂f/∂θ dθ]
此乃以r̂、θ̂、ẑ 等單位基向量 (unit basis vectors) 顯示之移動程度。
因而，在三維空間中，垂直於曲面切平面的法向量m、即為：
m = [1, 0, ∂f/∂r] × [0, r, ∂f/∂θ] = [-r ∂f/∂r, -∂f/∂θ, r]
而：
-m = [r ∂f/∂r, ∂f/∂θ, -r]
該法向量m、乃以r̂、θ̂、ẑ 等單位基向量顯示者。
因，在二維平面中，前述由(dr, dθ) 之位移、對應的高度變化∂f/∂r dr + ∂f/∂θ dθ，於此處、則是由(dr, r dθ) 之位移對應者，故，此處的梯度向量、不能簡單地由法向量的投影得到，而要先除以尺標因子r、再進行投影，方能維持高度變化之一致性，此即：
(dr, r dθ) · [∂f/∂r, (1/r) ∂f/∂θ] = ∂f/∂r dr + ∂f/∂θ dθ = df
此外，又因：
r̂ = cosθ x̂ + sinθ ŷ
θ̂ = -sinθ x̂ + cosθ ŷ
ẑ = ẑ
代入m = -r ∂f/∂r r̂ - ∂f/∂θ θ̂ + r ẑ 中，得到：
m
= -r ∂f/∂r (cosθ x̂ + sinθ ŷ) - ∂f/∂θ (-sinθ x̂ + cosθ ŷ) + r ẑ
= (-r ∂f/∂r cosθ + ∂f/∂θ sinθ) x̂ + (-r ∂f/∂r sinθ - ∂f/∂θ cosθ) ŷ + r ẑ
= [-r ∂f/∂r cosθ + ∂f/∂θ sinθ, -r ∂f/∂r sinθ - ∂f/∂θ cosθ, r]
此處定義：
Kʲ₁ = ∂x̄ʲ⁄∂x¹ = [∂x̄¹⁄∂x¹, ∂x̄²⁄∂x¹, ∂x̄³⁄∂x¹]
Kʲ₂ = ∂x̄ʲ⁄∂x² = [∂x̄¹⁄∂x², ∂x̄²⁄∂x², ∂x̄³⁄∂x²]
Kʲ₃ = ∂x̄ʲ⁄∂x³ = [∂x̄¹⁄∂x³, ∂x̄²⁄∂x³, ∂x̄³⁄∂x³]
令x̄¹ = x，x̄² = y，x¹ = r，x² = θ，
即有：
[∂x̄¹⁄∂x¹, ∂x̄²⁄∂x¹, ∂x̄³⁄∂x¹] = [cosθ, sinθ, 0]
[∂x̄¹⁄∂x², ∂x̄²⁄∂x², ∂x̄³⁄∂x²] = [-r sinθ, r cosθ, 0]
[∂x̄¹⁄∂x³, ∂x̄²⁄∂x³, ∂x̄³⁄∂x³] = [0, 0, 1]
該矩陣的「逆」、即為：
(Kʲᵢ)⁻¹
= Kⁱⱼ
= ([∂x¹/∂x̄¹, ∂x²/∂x̄¹, ∂x³/∂x̄¹], [∂x¹/∂x̄², ∂x²/∂x̄², ∂x³/∂x̄²], [∂x¹/∂x̄³, ∂x²/∂x̄³, ∂x³/∂x̄³])
= ([cosθ, -sinθ / r, 0], [sinθ, cosθ / r, 0], [0, 0, 1])
現今，若無視Jacobian 唯限於座標基底基向量 (coordinate base vectors) 互換之事實，而錯誤地以為：x̂、ŷ、ẑ 座標系之法向量N 、亦得藉由K (三維的J) 的「正」乘以r̂、θ̂、ẑ 座標系之法向量m 得出，此即：
N
= Kʲᵢ · [-r ∂f/∂r, -∂f/∂θ, r]
= ([cosθ, sinθ, 0], [-r sinθ, r cosθ, 0], [0, 0, 1]) · [-r ∂f/∂r, -∂f/∂θ, r]
= [-r ∂f⁄∂r cosθ + r ∂f⁄∂θ sinθ, -r ∂f⁄∂r sinθ - r ∂f⁄∂θ cosθ, r]
將會發現，該結果、與所欲的：
m = [-r ∂f/∂r cosθ + ∂f/∂θ sinθ, -r ∂f/∂r sinθ - ∂f/∂θ cosθ, r]
有所不符，即，相乘的後項多了r。
究其原因、並不在K 本身、而在適用之情境：K 矩陣雖正確描述了座標基底向量在不同座標系間的轉換關係，但不應把僅適用於座標基底向量轉換之矩陣、乘以單位基向量顯示之法向量，此即錯誤的適用情境。
事實上，r̂、θ̂、ẑ 與 x̂、ŷ、ẑ 之轉換、應為：
r̂ = cosθ x̂ + sinθ ŷ
θ̂ = -sinθ x̂ + cosθ ŷ
ẑ = ẑ
可求出：
x̂ = cosθ r̂ - sinθ θ̂
ŷ = sinθ r̂ + cosθ θ̂
ẑ = ẑ
是以，援引後者的轉換矩陣Lʲᵢ、乘以r̂、θ̂、ẑ 座標系之法向量m，方符所欲之結果，此即：
N
= Lʲᵢ · [-r ∂f/∂r, -∂f/∂θ, r]
= ([cosθ, sinθ, 0], [-sinθ, cosθ, 0], [0, 0, 1]) · [-r ∂f/∂r, -∂f/∂θ, r]
= [-r ∂f⁄∂r cosθ + ∂f⁄∂θ sinθ, -r ∂f⁄∂r sinθ - ∂f⁄∂θ cosθ, r]
較之，不論三維的K、或二維的J、皆僅適用於座標基底向量之轉換；而L 則適用於單位基向量之轉換 (例如，從極座標轉換為直角座標)。
