一般以等級描述星球亮度，視星等數字小代表亮度強。根據長期記錄，發現木星的亮度在−3（負3）星等及−2（負2）星等之間變化。已知木星半徑約是地球11倍，距離太陽約為日地距離的5倍，而土星半徑約為地球9倍，距離太陽約為日地距離的10倍，反照率則與木星類似。在地面觀測土星時，其最大亮度之星等X，下列何者正確？
(A)X＜－3 (B)－3＜X＜－2 (C)X＞－2 (D)X＞6 (E)X依照地球與太陽的距離而不一定
答 案：C
解題觀念： 光度與半徑的平方（表面積）成正比；亮度=光度/距離2；每差一星等，亮度
約差2.5倍，星等愈小愈亮。
口訣公式
行星亮度 ∝ R² / (d日 × d地)²- R = 行星半徑
- d日 = 行星到太陽距離
- d地 = 行星到地球距離(取最近,衝的位置)
直接計算
木星亮度 ∝ 11² / (5×4)² = 121/400
土星亮度 ∝ 9² / (10×9)² = 81/8100
亮度比 = (121/400) / (81/8100) = 121×8100 / (400×81) ≈ 30倍
秒殺判斷
- 30倍 ≈ 2.5^3.7 ≈ 差3~4個星等
- 木星 -3~-2 等
- 土星 = 木星 + 3.5 ≈ 0等左右
結論:X > -2,選(C)
更快速估算法(考場用)
- 木星比土星 : 半徑大一點 ( 11 vs. 9 )、距離近很多( 5 vs. 10 )
- 粗估: 亮度差 ≈ 距離效應 ≈ (10/5)² × 2 = 8~10倍 → 差2~3星等
- 土星 ≈ -1 ~ +1 , 必定 > -2
秒選(C) ✓
- 比較亮度關鍵：行星最大亮度（衝時）取決於：
- 反射面積 ∝ 半徑平方（R²）
- 接收太陽光強度 ∝ 1 /（行星到太陽距離）²
- 地球觀測亮度 ∝ 1 /（地球到行星距離）²
- 代入數值（衝時位置）：
- 木星：R=11，到太陽距=5 AU，到地球距=4 AU亮度比例 ∝ 11²/(5²×4²) = 121/400
- 土星：R=9，到太陽距=10 AU，到地球距=9 AU亮度比例 ∝ 9²/(10²×9²) = 1/100
- 亮度比：
木星亮度 / 土星亮度 = (121/400) / (1/100) = 121/4 ≈ 30倍
→ 木星比土星亮約30倍。 - 星等差換算：
亮度差30倍 → 星等差約 3.5～4 等（因 2.5³≈15.6，2.5⁴≈39）。 - 推估土星星等：
木星星等 -3～-2，土星暗約 3.5～4 等 →
土星星等 ≈ (-3+3.5)～(-2+4) = 0.5～2，全部大於 -2。 - 對應選項：
(C) X＞－2 ✅
