有研究員說最近在看選擇權。
Q quant? 我很久沒有摸的東西了。
(ㄟ不是，我們一般散戶真的有這麼嚴格的neutral要求嗎?)
說個小故事，想當初我上網查「買什麼商品賺比較快」，第一次聽到選擇權，我還誤以為這是什麼人生方向規劃哲學(擁有選擇的權利)。
後來越看越神奇，只知道call的風險有限、獲利無限，也沒人跟我說put call parity, 亂七八糟。
不過也因為這樣，讓我知道沒有理論是完美的，而且總要準備推翻既有信仰。
Anyway, 今天就來淺談roadmap.
保證不標準、不專業，而且可能比較跳躍。
如果哪裡寫錯了，也請不吝踢館。
https://www.dcard.tw/f/money/p/237235216
那就從Dupire開始吧。
有次我在after party酒吧和金融業者聊天，他們是做選擇權的機構。
我問: 你這波動率是用什麼模型? (這是我對選擇權的交易者的標準搭訕法)
他說: Dupire.
Dupire，本來只是我腦中角落封塵的一個詞，我聽了一瞬間覺得它有點古老。
於是我問他對其它local vol模型的看法，以及對它們的改進。
結果他連演都不演，直接跟我說他們和Bruno Dupire合作，用特化版的，但他自己不知道具體細節，邀請我下周去他們公司聚會。
我意識到，市場上賺錢的不一定要是最準、最先進的模型，也可以是能召集夠大、信任你的AUM，提供抽租來源。
回去後，我又研究了一番，決定抽出一支理論發展脈絡，當作遊記。
Dupire經典(1994)，但有很多傳統假設需要滿足，像是連續、夠平滑、夠正則(C¹’²類可微)、靜態無套利，這樣反推的局部變異數才可能會非負有限。
你可以對一個Ito過程，建構限定好的一維Markov投影，也就是local vol函數。
而參考Gyongy Theorem，當係數滿足Lipschitz成長、drift給定，則「保證」能構造出和原Ito相同邊際分配的S，且Dupire下的波動率只和SDE狀態、價格表面有關。
因此你找出一個local vol diffusion，吻合所有Euro vanilla(也就是非exotic)表面上的價格。
問題是，雖然你會希望用夠Euro的smile surface來擬合, 但一旦遇到路徑相依或美式、百慕達(定價很依賴smile dynamic)，就很可能失真。
妳知道標準答案，陸續試了不同的「主流」模型，包括隨機和jump家族。
框架部分，妳也嘗試用Dupire自己的後續版本functional Ito calculus, 以及包括deep hedging的工具。
不過，我今天要講另一條路。
想像一下，時間來到2010年代，妳手中有一組SPX的價格表面，或者更誠實的說，只是一組離散的OTM strike vs maturity網格。
妳擔心亂內插會讓波動率曲面(Breeden-Litzenberger轉成風險中性的機率分布表面)太尖或震盪，又不想押注local vol或Heston(隨機波動家族)，以及一些Levy based的jump.
單一模型都有缺點，但妳一旦放棄，反而會面對更大的守門Boss.
在沒有單一基準測度的多模型世界裡，機率、可測性、對沖和定價的標準語言都開始不夠用，你會遇到non-dominated models和mutually singular measures等問題要處理。
那怎麼辦?
Dupire大禮包過期了，你決定先逛逛robust finance新手村，發現有三個平行陣營。
第一個是「數學家」思維陣營。
你用到Choquet的capacitability定理，將「事件有多大」寫成一個容量，確保這些醜陋的set, 在容量「精確邊界」意義下可被逼近。
不過，妳覺得同夥的G-世界太完美了，它的非線性PDE體系需要非常平滑的拓樸條件和常數波動率上下界支撐。
而在真實市場中，價格會jump，波動率也有隨機邊界，所以要將這些武器應用在實際市場的難度高。
於是，你轉頭去看「工程師」陣營。
妳知道，一旦開始取supremum、對未來狀態投影，很多集合就不再Borelian可測。
所以為了保證最壞情況下的值函數可測，也為了繼續跑線性規劃，妳可以使用Souslin的analytic sets(1917年證明Borel可測集的投影可能不是Borel可測集，20出頭年紀推翻數學家勒貝格1905年的說法，而老師Luzin等人利用超限和二進位的具體推導過程在1923年)，以及upper semianalytic函數(Bertsekas & Shreve, 用負lower可推導對偶，在取sup和Borel kernel積分下封閉，且自動泛可測)。
你透過quasi-sure分析，把所有模型都不覺得可能發生的P(𝒫)-polar sets排除，定義出安全的邊界。
而要把模型融合成quasi-sure的通用版本，本質就是aggregation(聚合)問題，有些人會用格論(lattice STZ 2011)和medial limit來統一各版本，以及用Jankov–von Neumann可測選擇等方法選擇核或耦合。
這樣一來，「最優耦合」不僅存在，而且真的能可測的被選出來。
實戰上，在STZ和2BSDE框架下，妳可以利用非線性Doob-Meyer分解和optional分解定理，把未知的價格軌跡，拆解出最差狀況下的對沖成本。
逛了一圈，妳覺得工程輾壓太暴力了。
揮別那些繁複的計算，妳又走向第三個「交易員」陣營。
要維持robust，妳想到了MOT(Martingale Optimal Transport, 鞅最優傳輸)，把妳從需要建構連續時間動態的限制中解放出來。
妳確保跨到期的邊際滿足peacock(PCOC, Processus Croissant pour l'Ordre Convexe, 隨到期遞增的convex order)，讓可行集合非空，如同Strassen's Theorem(1965), Kellerer's Theorem(1972)強調的。(建議使用Google翻譯。)
則在幾乎model free的條件下，妳可以算出理論價格的「區間」。
而更有指導意義的，參考Hobson、Beiglbock–Henry-Labordère–Penkner和Dolinsky–Soner, 實際操作上有個martingale Kantorovich dual問題，讓妳可以組合手中既有的vanilla，加上動態交易標的，構造出robust的sub/super semi靜態對沖。
這下子，你盯著手中的exotic，不管是barrier, forward start還是各類Asian，價格上下界都有希望算出來。
至此，數學家陣營重寫語言，工程師陣營補上工具地基，交易員陣營則用MOT，把這個多模型新手村轉換成可計算的價格區間。
妳也總算消滅了前面那隻non dominated的守門boss.
妳背起行囊繼續往前走，突然覺得有點不對勁。
妳說: 「狂徒，等一下。」
這是身為一個desk quant的務實擔憂。
MOT是很靈活，但是資訊集過小，導致bounds常常很寬，而且數值不穩定，這種等級的B/A spreads根本交易不了。
況且，最優的martingale coupling常常是尖銳解，mass transport很不平滑，典型例子就包含left-curtain coupling.
畢竟MOT本質上是一個無限維度的線性規劃問題，因此離散化後，解很常落在可行多面體的vertices上，這會很singular(變成狄拉克函數)或「退化」。
具體下場就是Greeks不穩、校準也難。
就算不理數學理論，也假設你server上放夠多乖乖，光是Greeks算不好，就會造成實際交易的麻煩。
你是算出結果了，但風控部門在你身後很火大，連基本delta的對沖比例都難抓。
你尋思，Dupire太死，MOT又太活。
要解決這個問題，我們來到了2020年代。
為了在所有martingale coupling中，找出一個最接近某先驗參考測度的傳輸計畫，有人把統計力學的entropic regularization搬過來套用。
妳引入相對熵(KL散度)為懲罰項，把剛剛說的太尖銳的點「磨平」到參考測度附近(I projection），而其中最優路徑測度可用Follmer drift來描述。
於是神奇的事情發生了，妳把離散化後退化的線性規劃問題，磨成嚴格/強凸優化，這讓解變得平滑、對輸入參數更可能可微，同時妳也可以做像是掛上adjoint自動微分(AAD)、隱微分等ML工具的敏感度測試。
在用上Sinkhorn類演算法和GPU的矩陣平行運算(而不是CPU的線性規劃)之後，速度可以有非常大的提升。
而這個神奇的、底層數學和量子力學(就是那隻貓)互為imaginary time twins(Wick rotation意義下)的量化金融工具，就叫做martingale Schrodinger bridge(薛丁格的橋)。
面對SB(薛丁格橋)的離散、靜態版本，妳依照需求選定折衷的entropy鞅最優傳輸(EMOT).
如果ε很小，則接近嚴格約束，更robust、更尖銳、但解更難算，也更不穩。
而若ε很大，則解更平滑、更穩、更可微，但也更會受到先驗和正則化bias的影響。
依此，妳只要調整溫度參數ε，就可以在泛用度、靈活度和速度之間取捨。
若再使用gamma-convergence和equicoercivity，則可確保這座橋的極限會收斂回原本固定版本的MOT最低點。
「狂徒，我終於能對波動率建模了。」
終於闖過薛丁格橋的妳，抽著菸，嘴角露出笑意。
不過妳也沒笑多久，因為時間很快來到了2021年1月，GameStop(GME)遭遇到了short squeeze和gamma squeeze.
某一刻開始，散戶long call, dealer要相應short call，結果手中累積一堆負gamma.
為了維持delta中性，spot上漲時，dealer又被迫追高買入股票，進一步推高價格。
這時delta繼續變化，dealer就被迫買更多...如此endogenous循環。
換句話說，這時的避險行為，反而讓整個機制加速。
也許沒人真正懂這個機制，但你是個一路闖關的亡命狂徒。
為了讓邪惡勢力向你低頭，所以你開始調動各種工具嘗試。
妳繼續踏上征途，又看到四條路。
面對「罕見性」，妳蒐集奇技祕法，處理極端特殊狀況。
妳可以用Large deviations principle(LDP)刻劃漸近架構下罕見事件機率的對數漸近，也可以對i.i.d.樣本的經驗測度用Sanov theorem描述偏離母群體的機率，或將有限維分布的LDP用Dawson Gartner, 提升成函數空間來描述整條價格路徑的偏差。
不過，即使得出以上機率，也不保證包含資訊的交易可行性。
你轉頭看著「互動性」，祭出了多人法陣，想了解眾人的互動模式。
你將整個市場當成大型mean field games(MFG), 用master equation描述散戶和dealers的策略均衡結構，或在common-noise(B⁰)存在時用McKean-Vlasov動態描述交易者狀態。
進一步的，你也可以用major-minor MFG(Nourian-Caines 2013控制論, Carmona-Zhu 2016機率論)來更貼近市場。
妳可能要出動Lions derivative對付Wasserstein空間上e.g.(𝒫₂(Rᵈ), W₂)的函數測度變數，這下子妳能描述群體策略的均衡。
然而擺在眼前的問題，是妳依然對dynamic coupling的束手無策。
妳來到「連鎖性」關卡，使用多重疊印，將波動行為拆成模式複加。
妳知道時間上，jump導致jump(Hawkes自激發過程), vol帶來vol(clustering).
妳也發現若在Hoover–Keisler式的飽和框架和精確大數法則(LLN)之下，不同類型交易者的idiosyncratic risk應該在聚合中彼此抵消，但實際上妳還是要面對連鎖「傳染」。
耦合必須尊重時間因果(non-anticipative), 所以即使妳解決事件群聚、調和時間箭頭，還是需要考量filtration和資訊流向。
最後，你對「反身性」開刀，畢竟你學會了幻影分身，能分飾當事人和觀察者。
Vol endogeneity和自我循環機制難不倒你，可是你意識到，光是交易者的行為，就會影響整個vol曲面。
也就是說，這兩者之間有「因果性」。
實務上，Nicolas等人觀察到，SP500 IV受到put買壓推動，但個股IV卻受call買壓驅動，而這中間就有套利空間。
理論上，Marcel Nutz等人在Guyon–Lekeufack volatility 2/4因子模型基礎上, 也用報酬和波動率的指數核(長短期記憶)來耦合過程。
你是能描述calibration和hedging的feedback loop，可惜，邊際條件本身「內生」，你不寫入「資訊流」就不穩定。
雖然你湊齊一些武器，但把遇到的障礙統整後，你發現真正的菁英boss是filtration-respecting admissibility.
更嚴謹的說，就算無嚴格定義下的因果關聯，妳交易也不該「偷看未來」。
傳統OT和非因果EMOT都允許anticipative的跨時空coupling, 所以遇到美式等能提早行使或barrier, lookback等路徑依賴商品時，這種數學框架會產生脫離現實世界的避險和套利策略。
畢竟你在市場上的每一秒，都只能利用當下的已知資訊。
於是下一步策略，你想改寫admissible transport plan的定義本身。
為了解決時間作弊，學者將研究方向放到因果調整的最優傳輸(causal adapted OT).
其核心技術，是要求所有定價路徑的傳輸計畫，都被約束在bicausal coupling中。
不過數學上一旦這麼做，傳統的距離測度會變得不自然。
所以，要定義有資訊filtered processes的距離，妳開始借用隨機分析和傳輸最優化的名詞，也就是adapted Wasserstein(或nested)距離。
妳量化兩個隨機過程的差異，並企圖將此空間「幾何化」。
「狂徒，怎麼做?」
目前並無標準答案，但我可以告訴妳，學者先鋒們有哪些嘗試，以尊重時間方向性(filtration consistency).
看著手上已有的定義，也許你想在這個空間裡「移動」和「計算」。
因此，為了確保平順、穩定、不亂跳的移動，妳在過濾結構上研究絕對連續曲線。
而兩個模型或分布間，這個在經典Wasserstein space中的最短變形移動路徑，就叫做測地線。
如果你將整個過程視為動態控制問題，並且僅依照當下資訊逐步連續移動，可以採用adapted Benamou–Brenier公式(數值解轉為Eulerian動態描述).
在可行的分布曲線和速度場之下，最小化一路的動能，這有助於你計算微分和幾何化。
而如果妳的思路是先走一步、再想第二步(類似時間離散決策樹)，那可以使用針對弱拓樸的Knothe-Rosenblatt重排。
這種工具把分層下的所有可能都依序攤開，也避免妳跳時間配對，以求存在性和近似序列，你也能拓樸化。
BB和KR兩者雖然哲學不同，但可以相輔相成。
同時，另一派的人認為，與其追蹤價格本身，不如改用Knight預測過程(strong Markov)來記錄當下「資訊對未來的條件機率分布」的演化。
好，計算性過關，但你怎麼知道解存在又可測?
接下來，你要證明無套利鞅約束的可行集合是exist和tight(甚至用Prokhorov推relative compactness)，否則電腦可能會發散算到爆。
你可以試著用Skorokhod type表示法，將一串只在分布上收斂的隨機物件，放到同一個機率空間內，讓它們幾乎處處(a.s.)真收斂，包括Poisson.
現在存在性有了，妳也可以證明，雙重對偶對應到的superhedging是否依然成立。
Worst case下的定價，能等於理論中無摩擦對沖的成本，至少也不要留有對偶縫隙，這樣妳才能把數學轉換換成金融語言。
或者，你想起那個背後火大的風控部門，決定研究偏向應用層面的輸出穩定性和穩健性。
在報價噪音和模型擾動下，理論上下界是否連續(甚至Lipschitz)，極限是否滿足adapted或martingale約束，關乎Greeks和風險傳遞的合理性。
此時傳統的weak convergence大概不夠用，要上更嚴格的semimartingale(Emery) topology，或是比Skorokhod更弱的、允許軌跡跳躍、更能處理compactness(在cadlag下)的pseudo-path(Meyer-Zheng) topology.
這下子，計算性、存在性、對偶性、穩定性都有了，那前面的SB能套用到這個因果框架嗎？
假設妳都證明完畢，那進一步的，如果我們把上一段提到的SB當作「對adapted martingale measures集合的Kullback-Leibler(I divergence)投影」，這個投影算子是否收斂? 是否穩定? 是否依然可微?
也許，你該玩玩能隨機停止的Aldous或Hellwig的adapted(例如extended weak)topology了。
看起來，因果這隻大Boss也不是無敵，或許總有一天人類能真正擊敗它。
這時候，你隱隱看到Boss身後還有至少五條叉路，依然等著你去探險。
不過好消息是，你也不是手無寸鐵。
弱解之路，你把SDE寫成Stroock–Varadhan martingale problem, 在典型路徑空間上找出一個機率測度，讓canonical process滿足某generator對應的martingale.
一般性之路，你鎖定semimartingale(允許jump), 用Jacod–Shiryaev的semimartingale characteristics(B, C, ν三元組)描述。
唯一性之路，PDE沒有古典解，但你有viscosity comparison principle.
資訊結構，如果filtration有PRP(predictable representation property)，則每個F-local鞅都可寫成某組基本鞅的隨機積分。
非完備對沖，你的目光停在Follmer–Schweizer分解上，local risk minimization策略中，把平方可積的claim，分解成交易本身，以及價格martingale部分強正交的殘差。
你想先走哪一條?
放下菸，一個問題，後面是一百個問題。
你說，解決了一堆麻煩之後，還是無法落地執行。
妳說，寫了一堆自己都不知道答案的問題，有什麼意義?
妳想著這就是人生，and you wake up in the morning and your head feels twice the size.
Where you gonna go?
Well, researcher有自己的美感，dev有對於環節性能的堅持，trader有最速一條龍的習慣。
怎樣找到共通語言，是在journals還是GitHub上找答案，是在labs還是Kaggle吸引人，對於獲利來說比學術推導還重要。
我不保證有人知道答案(事實上據我所知很多領域都還在摸索中)，但換一個角度，這就是研究之美。
妳真的想要具體細節，自己去找paper就好了，我這篇文章也不是academia review.
你會因為不知道怎麼EDA，就不在電腦中安裝晶片嗎?
妳會因為不知道怎麼推導狹義相對論和Sagnac效應，就不用GPS導航嗎?
真的功利的說，就把這些文獻當成學者在互相signaling吧。
對於未知領域，更重要的是培養自己的求知taste.
我平時講話模式，就是甩出hook去看可不可以串到什麼支點。
妳先知道自己的知識邊界，然後去掌握對方的知識節點和模糊地帶，才知道怎麼fit這些結構。
當然，你可以嫌棄我說的這些東西都太open，但換個角度想，一對一的談話之下，會有當下獨一無二的知識動態拓樸(因為妳在問的過程中就在釋放訊號)，這不也是一種名片?
跨領域的混搭，有時候沒有對錯可言，但可以讓體驗更精采。
想起有一次我聽到翁立友〈我問天〉，我腦中自動響起伍佰〈突然的自我〉，因為key, chord cycle都很像。
還有一次我在夢中聽Seven nation army和Sweet dreams, 結果自己插入一段江蕙〈無人熟識〉副歌。
我醒了，也笑了，走到鋼琴旁，把前奏旋律彈出來檢查，發現真的可以混音。
解構世界，隨自己的心情mashup，掀開琴蓋實驗, 不好玩嗎?
附錄:
Inspired by 陶哲軒的Freiman-Ruzsa猜想、Peter Scholze的液態向量空間, Kevin Buzzard的費馬大定理...
我也聯合AI和Lean 4, 試圖嚴謹形式化數學的證明雙因果OT的Bellman遞歸，做到Zero sorry, Zero axiom.
中途順便打穿了Jankov von Neumann 的uniformization一部分，即mathlib庫之外的無人帶。
如果妳也欣賞「暴力美學」，不妨看看以下證明，如何結合工業化的機械步驟和模組化的多線推進。
參考文獻:
總文獻庫有563篇，我放在以下網址。
https://www.zotero.org/groups/6490497/madx_dupire_to_causal/library
本文主要引用的有約50篇，我直接放這。
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