大學微積分題解-代換積分

目的

將複雜的積分式子轉換成簡單的變數 u 的形式，使得積分更容易計算。

基本公式

標準步驟

1. 選定代換的變數 u=g(x)。
2. 求導數 du=g′(x) dx。
3. 代入積分式，將原式轉換成 u 的函數
4. 積分後還原 u→x。

例題1

例題2

讀者要知道的是，我們可藉由三角函數的微分結果反推回積分，兩者互為反操作，很容易轉換的。

利用代換積分法求定積分

作法其實差不多，不過要注意的是: 代換後也要對應變更積分上下限！

題目:

Step 1:

則有:

Step 2: 改變積分上下限

原來是 x=0 到 x=1，變更為:

所以新的上下限為: u=1 到 u=2

Step 3: 代換積分式

Step 4: 積分計算

最終答案:

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