前導
參數式（Parametric Equations） 是一種用「第三個變數（參數）」來描述 x 和 y 的方法。這種表示方式很適合描述時間、運動、路徑、幾何圖形等。
形式為:
在研究運動時，t 通常表示時間。這種方程式能夠描述比單一函數圖形更廣泛的曲線，也不僅僅提供了粒子所經過的路徑圖形，還能提供任意時刻 t 下粒子的位置:
上面式子就稱為一條 參數曲線（parametric curve）。若是一組方程式就是參數方程。
例子
單位圓
的參數式為:
例子2
一個粒子在 xy 平面中的位置 P(x,y) 由以下參數式給出:
要求識別粒子追蹤的路徑並描述運動。
- 我們試著消去參數 t，從x 和 y 中找出代數關係:
但請注意，粒子的參數 t≥0，表示粒子只會出現在 x≥0 的右半邊拋物線，下圖示意:
擺線的參數式表示
題目
- 半徑為 a 的輪子沿著水平直線滾動。
- 找出圓周上一個點 P (右上角黃藍交錯那點)所形成的軌跡的參數式方程。
- 這樣的軌跡被稱為一條 擺線（cycloid）。
解法
- 將地面設為 x-軸
- 標記輪子上的一點 P，初始時 P 在原點
- 輪子向右滾動
- 令參數 t：表示輪子所轉過的弧度（以弧度表示）
幾何觀察
- 當輪子轉過 t 弧度時，其中心會向右移動 at 單位（因為弧長 = 半徑 × 弧度）
- 此時輪心的位置為 (at,a)
- 點 P 相對於圓心的位置為:
根據圖形，角度 θ 滿足:
代入三角函數得:
最終我們就得到了擺線的參數式:
