二進制的小數點運算（定點數運算）其實和你之前學的整數運算非常相似。最核心的概念只有一個：「對齊小數點」。
只要小數點對齊了，剩下的運算規則（逢二進一、借一當二）與整數完全相同。電腦在處理這類運算時，通常會將小數視為「定點數」（Fixed-point），也就是預設小數點固定在某個位置。以下詳細拆解原理與範例：
➕ 二進制小數加法
1. 原理
- 對齊小數點：這是最重要的一步。就像十進制加法要將個位對個位、十分位對十分位一樣，二進制也要將小數點垂直對齊。
- 補零：如果兩個數的小數位數不同，可以在較短數字的末尾補 0，讓位數對齊，方便計算。
- 運算規則：與整數相同，逢二進一。
2. 計算範例
假設我們要計算 10.11+1.00110.11+1.001 （對應十進制 2.75+1.125=3.875 ）：
步驟解析：
- 對齊：將 10.11 補零變成 10.110 ，以配合 1.001 的三位小數。
- 相加：
1 0 . 1 1 0 (被加數)
+ 0 1 . 0 0 1 (加數，前面補0對齊整數部)
----------------------------------------
1 1 . 1 1 1
逐步檢查：
- 小數第3位：0+1=1
- 小數第2位：1+0=1
- 小數第1位：1+0=1
- 小數點：直接落下。
- 整數部：0+1=1 ，1+0=1。
結果：11.111
3. 進位範例（觸發逢二進一）
假設計算 0.11+0.01：
0 . 1 1
+ 0 . 0 1
-----------
1 . 0 0
解析：
- 小數第2位1+1=10 （二進制的2）。寫 0，向前進 1。
- 小數第1位：1(進位)+1+0=10。寫 0，向整數部進 1。
- 整數部：0+0+1(進位)=10+0+1(進位)=1 。
- 結果：1.001.00 （即十進制的 1.0）。
➖ 二進制小數減法
1. 原理
- 對齊小數點：同樣必須先對齊。
- 運算規則：與整數相同，借一當二。當你向高位借位時，借來的 1 在本位代表數值 2。
2. 計算範例
假設我們要計算 10.0−0.（這是一個經典範例，對應十進制的 2−0.5=1.5）：
步驟解析：
- 對齊：將 10.0 補零變成 10.00 ，以便於借位觀察。
- 相減：
1 0 . 0 0
- 0 0 . 1 0
-------------
0 1 . 1 0
逐步解析（借位過程）：
- 小數第2位：0−0=0。
- 小數第1位：0−1 不夠減。
- 需向整數部借位。
- 整數部的 00 也沒有，需再向高位 1 借。
- 高位的 11 借給中間變成 2 （即二進制 10 ），中間留 1 ，再借給小數第一位。
- 小數第一位借到後變成 2 （二進制 10 ）。
- 運算：2−1=1 。
- 整數部：原本是 10 （二進制的2），被借走 1 後，剩下 1 。
- 減數的整數部是 0 。
- 1−0=1 。
- 結果：1.1 （即十進制的 1.51.5 ）。
💡 電腦內部的特殊視角：定點數
雖然我們人類在紙上計算時會畫一條小數點，但在電腦硬體（如參考資料提到的定點運算器）中，其實並沒有真正的小數點符號。
- 定點表示法：電腦會預設一個「隱形的小數點」位置。例如，在一個 8 位元的數字中，系統可能預設前 4 位是整數，後 4 位是小數。
- 硬體運作：CPU 在運算時，依然把它們當作整數在加減（使用加法器和補數法），只是軟體或程式員在讀取結果時，知道要把小數點點在第 4 位後面。
📊 總結
表格
特性二進制小數加法二進制小數減法前置作業小數點對齊，位數不足補 0小數點對齊，位數不足補 0進位規則滿 2 進 1（進位到左邊一位）借 1 當 2（借來的位在右邊當 2 用）硬體實作視為整數運算，最後再還原小數點位置轉為「加上負數的補數」，最後還原小數點
只要記住「對齊小數點」，剩下的就是重複你已經學會的整數加減法規則了！
