上古漢語的邏輯結構 047

1.0 從函數到函算語法

1.1 句子成份

1.2 函數概念小史

1.3 弗雷格的函數概念

二

公元1891年，弗雷格給〈耶拿大學醫學及自然科學協會〉(Jenaische Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft) 做了個演講，講題為〈函數與概念〉(Funktion und Begriff)，同年出版，內容為對函數的分析。弗雷格的取態與以計算結果為職業的數學家很不一樣，這十分可能來自他的父親卡爾‧弗雷格 (Carl Frege) 的影嚮。卡爾是數學教師，但對語言特別敏感，在弗雷格進入上中學的年齡，他寫了一本講授德語的讀本 (1854年出版)，給九至十三歲的兒童學習。弗雷格似乎受這本書啟發不少，因此他對數學的觀察基本上是對數學語言的觀察，而他對函數的分析亦是對作為語言表式的函數的分析。

弗雷格的分析別具一格。他首先思考的恰恰是李善蘭從德摩根借來的函數定義﹕「凡式中含天，為天的函數」。

弗雷格認為這樣的理解很有問題。假如我們視某 x 的函數為一個含 x 的算式 (Rechnungsausdruck)⁴²，那麼

1.3_1 2．x³＋x

表式就是 x 的函數。問題卻出在將 2．x³＋x 視為 x 的函數，因為我們可以在 x 的位置合法地代入一個數字，譬如 ，而得出

1.3_2 2．3³＋3

因此，如果

1.3_1 2．x³＋x

是 x 的函數，我們同樣可以說

1.3_2 2．2³＋2

是 2 的函數。後者顯然難以接受。

值得注意的是弗雷格在質疑「某 x 的函數為一個含 x 的數學表式」這個定義的時候並沒有使用引號或任何的標點符號以區辨記號和記號的內容。這不是弗雷格一時的粗心大意。他故意不予區辨，因為受質疑的定義本身沒有作出應有的區別，而這正是弗雷格批評這個定義的一個重要方面 (因此我們在這段落也不予區辨)。

__________

⁴² 弗雷格一貫用「Rechnungsausdruck」一詞，意即算式，英語多譯作「mathematical expression」(數學表式)。