AI時代系列(1) 機器學習三部曲: 🔹 第一部：《機器學習 —— AI 智慧的啟航》
24/100 第三週：監督學習（回歸）24. 多項式回歸 🏛 當線性回歸不夠用時，讓 AI 用曲線來擬合資料！
🏛 多項式回歸（Polynomial Regression）
當線性回歸不夠用時，讓 AI 用曲線來擬合資料！
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📌 1️⃣ 為什麼需要多項式回歸？
線性回歸只能擬合直線，但現實數據通常是非線性的！
例如：
• 房價變化：隨著時間或市場需求，房價可能呈曲線增長 📈
• 疾病進展：某些疾病的惡化速度隨時間呈指數或拋物線型變化 🏥
• 車速與煞車距離：當車速增快時，煞車距離呈現二次曲線 🚗💨
這時候，我們可以使用 多項式回歸（Polynomial Regression） 來擬合 非線性數據！
它其實是 線性回歸的一種擴展，但它增加了 高次項特徵，讓回歸線變成曲線。
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📌 2️⃣ 多項式回歸的數學公式
多項式回歸方程（以二次為例）：
y=w1X+w2X平方+by
這樣，回歸線就變成了一條 拋物線 📈！
當我們增加 更高次項（n次方） 時，模型可以擬合更複雜的非線性關係。
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📌 3️⃣ Python 實作：多項式回歸
🎯 例子：房價隨著房屋面積的非線性變化
我們用 線性回歸 vs. 多項式回歸 來對比它們的擬合效果。
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✅ (1) 產生數據
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
# 產生非線性數據（房價 vs. 房屋面積）
np.random.seed(42)
X = np.random.randint(20, 200, size=(50, 1)) # 房屋面積
y = 3000 * X**2 - 5000 * X + 100000 + np.random.randint(-500000, 500000, size=(50, 1)) # 非線性房價
# 繪製散點圖
plt.scatter(X, y, color='blue', alpha=0.5, label="真實數據")
plt.xlabel("房屋面積（平方公尺）")
plt.ylabel("房價（萬元）")
plt.title("房價 vs. 房屋面積")
plt.legend()
plt.show()
📌 房價 vs. 房屋面積的數據呈現「非線性曲線關係」。
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✅ (2) 使用線性回歸擬合
python
# 創建線性回歸模型
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X, y)
# 預測
y_pred_lin = lin_reg.predict(X)
# 繪製圖形
plt.scatter(X, y, color='blue', alpha=0.5, label="真實數據")
plt.plot(X, y_pred_lin, color='red', linewidth=2, label="線性回歸擬合")
plt.xlabel("房屋面積（平方公尺）")
plt.ylabel("房價（萬元）")
plt.title("線性回歸擬合效果")
plt.legend()
plt.show()
📌 結果： 線性回歸無法準確擬合數據，因為數據是非線性的！
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✅ (3) 使用二次多項式回歸擬合
python
# 創建二次多項式特徵
poly = PolynomialFeatures(degree=2) # 2 次方
X_poly = poly.fit_transform(X)
# 創建並訓練模型
poly_reg = LinearRegression()
poly_reg.fit(X_poly, y)
# 預測
y_pred_poly = poly_reg.predict(X_poly)
# 繪製圖形
plt.scatter(X, y, color='blue', alpha=0.5, label="真實數據")
plt.plot(X, y_pred_poly, color='green', linewidth=2, label="二次多項式回歸擬合")
plt.xlabel("房屋面積（平方公尺）")
plt.ylabel("房價（萬元）")
plt.title("二次多項式回歸擬合效果")
plt.legend()
plt.show()
📌 結果： 多項式回歸能準確擬合數據，擬合的曲線明顯更符合原始數據！
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✅ (4) 模型評估
我們比較 線性回歸 vs. 多項式回歸 的 均方誤差（MSE） 和 決定係數（R²）：
python
# 計算 MSE 和 R²
mse_lin = mean_squared_error(y, y_pred_lin)
r2_lin = r2_score(y, y_pred_lin)
mse_poly = mean_squared_error(y, y_pred_poly)
r2_poly = r2_score(y, y_pred_poly)
print(f"線性回歸 - MSE: {mse_lin:.2f}, R²: {r2_lin:.4f}")
print(f"二次多項式回歸 - MSE: {mse_poly:.2f}, R²: {r2_poly:.4f}")
📌 結果示例：
線性回歸 - MSE: 3.2e+10, R²: 0.45
二次多項式回歸 - MSE: 1.5e+9, R²: 0.92
📌 解讀：
• MSE（均方誤差）越小越好 → 多項式回歸誤差比線性回歸小很多
• R²（決定係數）越接近 1 越好 → 多項式回歸的 R² 遠高於線性回歸
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📌 4️⃣ 何時使用多項式回歸？
多項式回歸適用於數據呈現非線性關係的情境，當散點圖中的數據點顯示出彎曲的趨勢時，利用多項式回歸可以更精準地擬合這種曲線型態。此外，當數據量較小、無法有效運用成本較高的深度學習技術時，多項式回歸是一種簡單又強大的替代方案，能有效捕捉數據中的複雜關係。同時，多項式回歸透過特徵轉換，將原始特徵擴展到更高維度，使模型能學習到更多樣的模式與變化，進一步提升預測能力。
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📌 5️⃣ 選擇適當的多項式次數（Degree）
如果次數太高（如 10 次），模型可能會過擬合（Overfitting），學習到噪音而非真正的模式。
📌 建議
• Degree = 2~3：通常可以解決大多數非線性問題
• Degree > 5：可能會過擬合，需要謹慎使用
• 使用交叉驗證（Cross-Validation） 找到最佳次數
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🎯 結論
✅ 線性回歸無法擬合非線性數據，多項式回歸能解決這個問題！
✅ 二次或三次多項式回歸通常足夠，不建議使用過高次數！
✅ 多項式回歸適合小型數據集，在大數據上可能不如神經網絡有效！
🚀 下一步：探索「決策樹回歸」來處理更複雜的數據！ 🌲
