心統 | 機率 | 從期望值應用二項式分配（binomial distribution)

二項式分配

基本概念

二項式分配只能使用在間接變項上，探討的是N個獨立的二分（成功、失敗）試驗。

除了p=0.5外，有其他方法讓分配趨近常態分配嗎

有的！不管p、q值為何，只要N很大的話，都會趨近常態分配喔！

那樣本數要多大呢？根據經驗裡，只要Np和Nq皆大於5的話，就趨近常態分配囉！

二項式分配

由上圖我們可以看到，y軸是機率，而非連續變項的機率密度。可知，二項式分配是有特定值得機率。

期望值(expected value)

今天你和小明在玩擲銅板的遊戲，小明說：如果擲到正面我給你50元，如果擲到反面你給我50元。這時，你是不是玩的動力沒有那麼大，甚至要小明不斷地激你，你才有可能下去玩呢？

但如果今天，小明改口說：如果擲到正面我給你100元，如果擲到反面你給我50元。是不是你就會毫不猶豫賭一把？明明正反的機率都還是0.5，為什麼意願上會有不同的差別呢？

用期望值評估風險

我們了解機率，不外乎就是想要做出對的選擇，讓自己贏面更大。因此，我們有期望值這個評估的工具，讓我們可以理性的想一想是否要下去玩這場遊戲。以下的範例，我們會用獨立且機率相同的樣本點來做探討。

E(X)

為什麼E(X)可以寫成等於μ呢？

我們知道樣本點越多，越接近母群。這裡我們的N代表的是已經足夠可以代表母群分布的樣本數了。因此，樣本平均數會等於母群平均數。

E(X²)、E[(X-μ)²]：求得變異數

期望值相加：可計算重複抽取

若我們假設Y是跟X一樣的樣本空間，我們可以知道Y只是抽一次重複的樣本。因此如果我們今天要算重複抽取的期望值的話，可以得出下面這個公式（在樣本點互斥和重複抽取之間獨立才成立）：

設T是抽取N次的X樣本，則E(T)和Var(T)為：
E(T)=N*μ_x
Var(T)=N*σ_x²

接下來，我們要把期望值應用在二項分配！

期望值應用在二項分配

中獎機率是p，抽了N次，我期待的中獎次數是...？

二項分配中，我們將成功視為1，失敗視為0。

從以上推導，我們可以知道若中獎機率是0.5，抽了10次的話，我的期望值是10*0.5=5！因此我期望我這10抽裡應該會有5次的中獎機會！因此，如果你一張都沒抽到的話，就可以去質疑店家是否亂說話了~~