在快思慢想這本書中，作者康納曼曾經提到一個概念，如果你聽到一位人性格內向、喜歡有秩序有調理的事物，你會認為他是農夫還是圖書館管理員?大部分的人會根據直覺思考認為他應該是圖書館管理員，這種直覺式的結論犯了一個統計上的錯誤基本比率謬誤（base rate fallacy），因為美國農夫的人數遠大於圖書館管理員。
如果你認為主動選股能夠在報酬上贏過指數投資，那你就是犯了這種錯誤，這篇論文用30年的數據告訴你，絕大多數股票連國庫券都贏不過。論文統計了過去1990~2020年的股票報酬分布，理解報酬分布可以幫助我們了解眾多股票中有多少的比例是賺錢的，那些賺錢的股票誰的報酬率最佳?表現最好的股票占了整個股市所創造出的財富多少比例?根據這篇論文，研究者發現股市的報酬分布呈現正偏態(positive skewness) ，也就是大部分的數據都在平均值的左邊，觀察這個圖我們可以發現少數股票創造出的高於平均的報酬，極少數的股票創造出極大的報酬，但是大多數的股票沒有贏過固定收益資產甚至是虧損的。
股票報酬率分布
圖片1:買入並持有股市30年的報酬率分布- 美國與非美股票
此圖重點，頻率出現最高的股票報酬率分別為-95%和-100%。且此現象不是單純出現在美國股市，同樣的分布也出現在國際股市。
以十年報酬率來說，樣本數20萬個股票平均十年報酬率為1.66%，中位數僅0.01%，且偏度68代表數據極度偏右(表現最好的股票大幅拉高報酬平均值)，平均值是中位數的100倍。中位數的值也反映了大約有一半的股票十年報酬率低於0%，中位數的質可以理解為大多數人能夠實際拿到的實際報酬。
上面的數據是真實的統計了研究時間範圍內的美國與非美真實股票表現，由於美國數據較為齊全，破產與倒閉的公司有反映真實報酬、但非美公司數據不足破產與倒閉公司採用若發生股票下市最終報酬率設定為-30%。
為什麼個股投資的成功率可能被嚴重高估
論文作者分析1990-2020年的股票表現時發現了一個關鍵的方法論問題：大多數股票的存續期間遠短於31年的研究時間框架，中位數存續期間僅為102個月（8.5年），想像一下如果只分析最後存活的公司，會系統性地高估股票投資的成功率，因為表現不佳的股票往往提早退出市場，從而低估了主動選股策略的真實風險。
為了解決個別公司可能於30年內倒閉的問題，研究者採用了Bootstrap模擬方法來重建真實的長期投資情境。具體做法是從1990年1月到2020年12月的每個月中，隨機買入一支股票，下個月再換下一支，持續30年，最後計算30年期間的總報酬率，模擬一個投資者在整個31年期間每月隨機持有一支股票的策略結果。讀者不應該把這個隨機買入持有想成是一種選股策略，應該把這個假設視為一種統計方法，用來生成「單一股票持有」的可能結果分布。這個程序重複進行1,000次
根據模擬實驗的結果，中位數的報酬幾乎都是負的，平均值也顯著低於加權市場的9%。只有不到一半的股票報酬高於0%，四成能贏過國庫券，三成左右的股票能夠打敗加權市場(Value Weighted)。另外，研究者也測試更多持股(5/25/50/100支)股票的情況
持有更多支股票的結果
分散投資的神奇效果
模擬實驗還有另一個令人驚訝的發現，加入更多支股票的組合後，數據顯示如果持有更多的個股，拿到正報酬與跑贏國庫券報酬的機率會隨著股票的數量增加而提升。這就是分散投資的效果，不過即使你選了100支股票，做到分散風險，但仍然有一半的以上的機率會輸給市值加權型的指數。
分散投資為何如此有效？
根據公式推導，長期報酬的偏態可以視為短期波動率的函數，換句話說，長期股市報酬平均值顯著高於中位數，其背後原因正是短期的股票波動性，中位數可以想像成大部份投資人實際拿到的報酬；如果希望中位數更接近平均值，就必須降低整體波動率，而方法之一就是持有更多股票。
更白話的方式解釋，當投資人持有多檔股票時，投資組合的變異數(波動率)可分解為「可分散風險」與「不可分散風險」。由於資產間的相關性必然小於 1，隨著持股數量增加，可分散風險會隨之下降，並在股票數量趨近無限大時趨近於 0，最終僅剩下由平均相關性所決定的不可分散風險（correlation floor）。
持有越多股票，投資組合的總體波動率就會下降；波動率下降意味著報酬分布的偏態程度也隨之減弱，投資人的實際報酬將更接近分布的期望值。
數學上，投資組合的變異數可以拆解為：
即僅剩下由相關性決定的 correlation floor。
更白話地說，因為股票之間的相關性不可能完全等於 1，所以當投資人持有的股票數量增加，可分散風險會持續下降，最終僅剩下無法避免的系統性風險。這使得投資組合的波動率顯著減少。
波動率下降 → 偏態效應減弱 → 投資人的實際報酬更接近平均值。
結論
根據 Long-Horizon Stock Returns Are Positively Skewed 這篇論文，眾多股票長期報酬正偏態來自短期的波動率，正偏態的程度是短期波動率的函數，在各種假設下，每個月的股票報酬波動率越大，長期的正偏態就越嚴重。
正偏態嚴重代表
- 股市的總體報酬是由極少數的個別股票創造的
- 報酬的中位數顯著低於平均值→大部分主動選股的投資人能拿到的報酬顯著低於平均值
即便投過持有更多股票來降低偏態，但是仍然有高達一半的機率跑輸指數。
持有個別股票績效打敗市值加權指數的人是少數，如果個人沒有資訊、資源上的優勢，主動選股的骰子勝率非常低，如果你願意接受花了很多時間主動選股，卻跑輸什麼都不用做的市值加權指數，那就擲動你的骰子吧。如果你認為你會輸，不如換一顆更容易贏的骰子，最佳策略還是持有大盤指數ETF。
