二進制的小數乘除法，其實可以看作是你已經學會的「整數運算」加上「小數點定位」的組合。最關鍵的觀念是：先忽略小數點，當作整數來算，最後再把小數點點回去。
這與十進制的邏輯完全一致，但因為二進制只有 0 和 1，運算過程反而更單純。以下我為你詳細拆解原理與範例。✖️ 二進制小數乘法
1. 核心原理
- 忽略小數點：先把兩個數都當作整數。
- 整數乘法：使用「移位與加法」進行運算。
- 定位小數點：統計兩個乘數總共有多少位小數，結果就保留多少位小數。
- 公式：若 A 有 m 位小數，B 有 n 位小數，則結果有 m+n 位小數。
2. 計算範例
假設我們要計算 10.1×1.1 （對應十進制的 2.5×1.5=3.75 ）：
步驟解析：
- 忽略小數點：
- 10.1 視為 101(1位小數)
- 1.1 視為 11 (1位小數)
- 預計結果的小數位數：1+1=2位。
- 執行整數乘法 (101×11 )：
1 0 1 (被乘數)
x 1 1 (乘數)
-------
1 0 1 (1 x 101)
+ 1 0 1 0 (1 x 101, 左移一位)
-------
1 1 1 1
- 點回小數點：
- 計算結果是 1111 。
- 從右邊數 2 位，點上小數點。
- 最終結果： 11.11
驗證： 二進制 11.11=2+1+0.5+0.25=3.75 。正確！
➗ 二進制小數除法
二進制除法比乘法稍複雜，主要有兩種思考方式：「移位法」（適合手算）和「長除法」（適合電腦邏輯）。
方法一：移位法（最直觀）
原理是將除數變成整數。將被除數和除數同時擴大相同的倍數（左移小數點），直到除數變成整數，然後再進行整數除法。
範例：計算 11.0÷1.1（對應十進制的 6÷3=26÷3=2 ）
- 移位：將除數 1.1 的小數點向右移 1 位變成 11 （整數）。
- 同步：被除數 11.0 也要向右移 1 位，變成 110 。
- 整數除法：計算 110÷11 。
- 110 (6) 除以 11 (3) 等於 10 (2)。
方法二：長除法（電腦演算法基礎）
這與十進制的長除法步驟完全一樣：試商、乘、減、落下。
範例：計算 1010÷10 （對應十進制的 10÷2=5 ）
1 0 1 <-- 商 (Quotient)
________
1 0 ) 1 0 1 0 <-- 被除數 (Dividend)
1 0 <-- 1. 試商1: 1x10=10
--
0 1 <-- 2. 相減得0，落下下一位1
0 0 <-- 3. 試商0: 0x10=0 (不夠減)
--
1 0 <-- 4. 落下下一位0，變成10
1 0 <-- 5. 試商1: 1x10=10
--
0 <-- 除盡
結果： 101101 （即十進制的 5）。
💡 電腦內部的運算邏輯
雖然我們手算時會「點小數點」，但電腦硬體（如 CPU 的 ALU）其實非常單純：
- 定點數運算 (Fixed-Point)：
電腦通常使用定點數格式（如 Qm.n 格式）。它並不知道哪裡有小數點，它只是把數字當作整數在運算。 - 乘法時：CPU 算出整數結果後，軟體層面會知道「啊，因為輸入有 4 位小數，所以輸出結果的最低 4 位是小數部分」。
- 除法時：通常會先將被除數左移（擴大），算出整數商後，再透過軟體調整小數點位置。
- 符號處理：
如果是帶符號的小數（有正負之分），電腦會先記錄符號（正正得正、正負得負），然後將數字轉為絕對值（正數）進行上述的運算，最後再把符號加回去。
📊 總結
掌握「先當整數算，最後再定位」這個心法，二進制小數運算就不難了！
