綁架愛麗絲 之 地下邏輯 022

作者: 黃盛

一池淚水

三

愛麗絲好像是這樣思考的:

因為艾達有長長的卷髮﹐如果我 (愛麗絲) 是艾達﹐我便 (應該) 有長長的卷髮; 但我 (愛麗絲) 沒有長長的卷髮﹐所以我不是艾達。

根據這個詮釋﹐非艾達論可作如下處理:

非艾達論 [1]

我們採用以下的約定:²⁹

• A = 我 (愛麗絲) 是艾達。
• C = 我 (愛麗絲) 有長長的卷髮。

非艾達論 [1] 因此可以如下形式化:

非艾達論 [1,1]

非艾達論 [1.1]碰巧屬於一個有效的論理型。它可以說是肯定模式的逆轉。如果讀者還記得的話﹐肯定模式 (modus ponens) 的全名為「隨肯定 (前件，即「p」) 而來的肯定 (後件，即「q」) 模式」:

肯定模式 / 條件消去規則

在我們的自然演繹系統/語言中，我們稱之為「條件消去規則」。非艾達論 [1.1]則屬於如下的論理型:

論理型8號: 有效

這個論理型稱為「隨否定 (後件，即「q」) 而來的否定前件，即「p」模式」﹐簡稱為「否定模式」³¹。 中世紀的英國哲學家奧坎的威廉 (William of Okham)﹐對否定模式做了這個闡述: 「Consequens est falsum, ergo et antecedens」—— 意即後件假﹐因此前件亦假。

我們用非正規的方式證明否定模式 (論理型8號) 的有效性。否定模式有兩個前提。作為前提的意思是假設作為前提的句子為真。換句話說﹐我們假設「p ⊃ q」為真，並且假設「﹁q」為真。我們知道，「p ⊃ q」在三個真值組合的情況下為真:³²

1. p = 1, q = 1;
2. p = 0, q = 1;
3. p = 0, q = 0。

但是「﹁q」(前提之一) 為真﹐因此「q」必為假 (即 q = 0 )。在上述的三個真值組合之中﹐第一個和第二個組合的「q」皆真﹐因此無需考慮第一個和第二個組合。結果剩下的只有第三個真值組合﹐即 p = 0﹐q = 0; 既然 p = 0﹐那麼 ﹁p = 1，即「﹁p」的結論是對 (真) 的; 因此否定模式是個有效論理型。這是非艾達論[1.1]的推理模式。

根據非艾達論[1]的詮釋﹐愛麗絲的艾達論是個有效論理 (valid argument); 但非艾達論[1]並非非艾達論的唯一的詮釋!

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²⁹ 「A」來自「Ada」;「C」來自「curly hair」。

³⁰ 拉丁文全稱為「modus tollendo tollens」﹐簡稱為「modus tollens」。

³¹ 生卒於1285-1349。奧坎最為後世津津樂道的應該是他的那把剃刀﹐稱為「奧坎的剃刀」(Okham's razor)﹐實際上是奧坎神學論述中的一個本體論原則 (ontological principle)。這個原則有幾個表述式﹐其中一個是:「Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem」(沒有必要﹐就不要增加實體)。參考: William & Martha Kneale: The Development of Logic, London: Oxford University Press, 1962; 43節。對此原則，哲學家羅素一生奉為圭臬。

³² 請參考第1章第11節的真值表。

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