基本觀念
什麼是有理函數
有理函數是指形如:
使用條件
- 條件 1：是「有理函數」
- 條件 2：分子次數 < 分母次數
- 若不是，要先做「多項式長除法或者使用綜合除法」。
- 最後根據分母的因式類型分類:
部分分式拆解的基本類型
- 線性因式（不重根）
例如:
- 線性因式（重根）
例如:
- 二次不可約因式
例如:
這裡:
- x2+1 是不可約二次因式
- x−2 是線性一次因式
所以應該拆解為:
範例1
分母分解:
部分分式形式:
兩邊同乘分母:
整理後使用比較法或代入法求 A,B，本題使用帶入法:
再來就很好積分了:
範例2
設:
兩邊同乘分母:
若使用比較法，需要展開右邊所有項:
全部展開相加:
建立聯立方程式:
經過漫長計算後你會得到:
整理後積分式:
範例3
設:
兩邊同乘分母:
展開右邊:
比較左右兩邊係數得到係數A、B後，帶回積分式:
逐項積分:
範例4
利用長除法或綜合除法:
再將 x2−2x−3 因式分解:
設部分分式（對餘式部分）:
最後找到係數後，整理為積分形式:
積分每一項:
範例5
整體設為:
兩邊同乘分母後得到:
等於:
比較左右兩邊係數後得到A、B、C、D，帶入積分式:
分項積分:
計算出最終答案:
求係數的其他方法
使用「Heaviside 快速法」解出每個係數
這種方法只適用於分母全為一次不重根因式的情況，且形式是:
那麼:
例如:
使用 「differentiating」 找出係數
例如:
兩邊同乘分母
代入 x=−1，可得 C=−2。
接下來，對兩邊微分，得:
再微分一次，得到:
最終結果為:
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