對於反雙曲函數的微分推導，方法並不僅僅侷限於一種方法，我們既可以先定義反雙曲函數的形式再進行微分。亦可以由反函數的微分方式來做微分。
我們以反雙曲正弦函數為例子，首先嘗試定義其表示的形式，這裡會使用到反函數的概念。我們設定 y = arcsinh(x)，x = sinh(y)。
如此，我們就定義了arcsinh(x)的自然對數表達式。
現在，我們可以很輕鬆地進行微分的動作，所以arcsinh(x)的導數結果如下所示:
微分括號內的式子：
帶回原式:
分子通分:
整個式子變為:
所以最終結果就是:
好，過程可能有點繁瑣，但其實一步一步慢慢做下來，也並不會太艱澀難懂。
這邊再示範arctanh(x)的自然對數形式定義與微分過程:
最後，提供讀者arcsech(x)的自然對數形式定義，微分的推導就請讀者自行練習吧。
另外，剩餘的反雙曲函數的對數形式皆透過類似的方法求得，這邊就不繼續寫下去了，讀者也不必去背。
接下來，我想以反雙曲餘弦函數為例子，示範直接利用反函數的定義推導其導數，以下示範:
首先，先觀察雙曲餘弦函數的大致示意圖形:
利用水平線測試法，發現不是一對一，我們透過限制其定義域(Domain)，讓其變為一對一函數，由於這些受限函數現在是一對一的，因此它們具有反函數:
現在函數 cosh(x)的值域(Range)是：
所以它的反函數 arccosh(x)定義域(Domain)是 x≥1。
好，現在設定:
使用反函數的微分定理，過程如下:
所以最後:
注意，在結果中，為了讓導中分母的根號存在，我們進一步要求 x>1。
最後的最後，下面提供反雙曲函數微分的公式整理表:
以上就是反雙曲函數的微分講解，希望對讀者有幫助。
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