在上一篇搞懂交流電壓為什麼要用「有效值 (RMS)」？後，在設計智慧電網監控或電源控制器時，經常需要 MCU 讀取交流電壓的有效值 (RMS)。但這裡有個有趣的事情：教科書上的 RMS 公式是「連續函數」，而 MCU 卻只能處理「離散數據」。
今天我們來聊聊，如何將數學公式，「翻譯」成 MCU 看得懂的指令。
數位世界的本質：用「點」來逼近「線」
類比訊號是連續的時間函數 V(t)，但數位 IC 的本質是離散（Discrete）的。
想像一下用 Excel 的折線圖：
- 如果半個週期只取 5 個點，畫出來的圖形會像鋸齒。
- 如果取 21 個點，圖形開始接近標準正弦波 V(θ) = Vₚ*sin(θ)。
- 關鍵結論： 取得的離散點（採樣點）越多，就越能精準還原那個連續的真實世界。
轉換公式的翻譯
要把 RMS 公式寫進程式碼，需要進行一場「連續」到「離散」的轉換。首先再看一次有效值的公式定義，接著討論如何轉換？
1. 函數的轉變：從 V(t)到 V[n]
- 連續世界：V(t) 代表時間軸上無窮無盡的電壓變化。
- 數位世界：我們透過採樣（Sampling），在特定時間點記錄數值，變成一個陣列V[1], V[2], ..., V[N]。
- 對應關係：原本的連續變數 (t )變成了離散的索引 (n)。
2. 運算的轉變：從積分∫到累加∑
- 連續世界：積分是在計算波形下方的「面積」，代表數值的累積。
- 數位世界：數位系統沒有面積的概念，只有數值的加總。我們把每一個採樣點平方後全部加起來。
- 對應關係：∫ dt ⟹ ∑ₙ₌₁ᴺ
3. 時間與數量的轉變：從週期 T到樣本數 N
- 連續世界：1/T 是取一個完整時間週期的平均。
- 數位世界：在數位計算中，不知道精確的時間流逝，但知道採樣了多少個點。
- 對應關係：將總數值除以採樣點數 N，就是數位的平均概念。
在 MCU 裡，計算 RMS 的步驟是：「平方 → 累加 → 除以 N → 開根號」。而累加 → 除以 N近似連續函數的平均，因此在MCU的程式碼裡執行的離散RMS公式如下：
總結對兩者應關係如下：
增加採樣點數，就像是把電影的畫質從 480p 提升到 4K。在固定間裡，點數越多能捕捉到的波形就越完整，計算出的有效值也就越接近真實波形，如下表用取點數多寡，用離散運算有效值對效真實的有效值，結果就能驗證這個觀點。
為了讓數位計算能完美還原 240Vrms的波形，我們必須在 8.33ms內塞入至少 91 個數據點。換算下來，MCU 的採樣頻率必須高於 10.8kHz(即採樣間隔 Tₛ < 92.55μs）。只要間隔稍微慢一點，採樣點數不足，計算出的有效值就會因資訊遺漏而偏離真實值。
結語
數位系統雖然沒有「連續」的概念，但透過高頻率的採樣與離散運算，就能以極高的精度模擬出連續函數的結果。
